Dall'ultima operazione alla funzione: I Logaritmi

« Older   Newer »
 
  Share  
.
  1. W32.Melo.p
     
    .

    User deleted


    Che cos'è un logaritmo?
    Immaginiamo di avere un'equazione esponenziale del tipo

    user posted image

    Essa è del tutto equivalente all'equazione

    user posted image

    che si legge "x uguale a logaritmo in base a di b".

    "b" prende il nome di argomento e "a" il nome di base.

    Dunque il logaritmo non è altro che l'esponente (x) che bisogna attribuire alla base (a) per ottenere l'argomento (b).
    In altre parole il logaritmo è l'operazione inversa dell'elevazione a potenza.

    A titolo di esempio e per chiarire i concetti espressi scriviamo queste:

    user posted image

    Detto ciò parliamo delle nozioni fondamentali, e dei dati certi sui logaritmi:


    • L'argomento di un logaritmo è necessariamente positivo; non dimentichiamo che esso è il risultato di una elevazione a potenza!
    • Il logaritmo di 1 in qualunque base è sempre 0; qualunque numero elevato a 0 dà 1!
    • Non esiste il logaritmo di 0 in qualunque base; esso corrisponde a - infinito
    • Il logaritmo in base a di a è sempre uguale ad 1


    Per qunto riguarda la base dei logaritmi sono state istituite delle convenzioni, per semplificare i calcoli ecc...
    Quando si parla di logaritmi ci si riferisce molto spesso ai logaritmi "naturali" o "neperiani". Questi hanno per base un numero decimale irrazionale che, come il pi graco, non ha un valore esatto. Questo è il numero di Neperio, il cui valore è all'incirca 2,718281828 e si indic con la lettera "e". I logaritmi neperiani (che si indicano con ln), nonostante la base non esatta, sono estremamente importanti per semplificare (è il caso di dirlo!) la matematica con cui si studiano i fenomeni fisici, per cui è diventato un riferimento assoluto. Inoltre "e" è il risultato del limite notevole

    user posted image,

    a partire dal quale ho scritto questo programma in pascal:

    CODICE


    program neperio;
    uses crt,windos;
    var i,g:longint;e:real;q,t:string;ore1,min1,sec1,cent1,ore,min,sec,cent:word;

    procedure calcolo;
      begin
      (*calcolo approssimato con il limite notevole*)
      e:=1;
      for i:=0 to 2000000000 do
          e:=e*(1+1/2000000000);
      end;

    begin
        clrscr;
        writeln('      25 aprile 2005                           Carmelo Pellegrino VD');
        writeln;
        Writeln('Questo Programma permette di calcolare il valore numerico del numero di Neperio.');
        writeln;
        writeln('Nonostante il programma utilizzi un metodo iterativo di estrema precisione');
        writeln('si verificano approssimazioni grossolane da parte del programma stesso.');
        writeln('Pertanto si registra sperimentalmente un''errore dell''ordine di 10^-5.');
        writeln('Si consiglia di attendere con pazienza l''uscita del programma.');
        writeln;
        writeln('Premere INVIO per continuare.');
        readln;
        GetTime(ore,min,sec,cent);
        calcolo;
        GetTime(ore1,min1,sec1,cent1);
        writeln;
        writeln('La procedura Š terminata.');
        (*elimino il suffisso 'E+00' alla fine del numero*)
        str(e,q);
        delete(q,pos('E+00',q),4);
        writeln('e =',q);
        g:=(360000*(ore1-ore)+6000*(min1-min)+100*(sec1-sec)+cent1-cent);
        str(g,t);
        insert('.',t,Length(t)-1);
        t:=t+'sec';
        writeln('Tempo di elaborazione: ',t);
        readln;
    end.




    Fare copia e incolla nel Blocco Note e salvare come "neperio.pas". Poi aprire il fle col Turbo Pascal (se non avete ancora il compilatore scaricatelo quì).


    L'altra base più usata è quella decimale, a base 10, che viene utilizzata nella misurazione della magnitudo dei terremoti, o in chimica per calcolare il pH delle soluzioni.

    L'algebra dei logaritmi è relativamente semplice ed intuitiva:

    1) Logaritmo di una potenza: il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto tra l'esponente e il logaritmo della base della potenza

    user posted image

    2) Logaritmo di un prodotto: il logaritmo di un prodotto è dato dalla somma dei logaritmi dei fattori; e ovviamente il logaritmo di una frazione è uguale alla differenza tra il logaritmo del numeratore e il logaritmo del denominatore

    user posted image

    3) Cambiamenti di base: immaginiamo di avere un logaritmo in una base che non ci conviene usare, o anche solo per semplificare qualcosa.... è possibile cambiare base a questo logaritmo secondo la formula:

    user posted image

    Ovviamente valgono tutte le operazioni inverse (la somma di più logaritmi si può trasformare in un solo logaritmo, a patto che questi abbiano la stessa base!; etc...).

    Al logaritmo corrisponde la funzione logaritmica, la quale è la funzione inversa della esponenziale.

    user posted image

    La funzione logaritmica di x è una funzione biunivoca, il cui dominio è limitato sul solo semiasse positivo delle ascisse. In generale il dominio di queste funzioni in forma semplice è user posted image.
    Come si può vedere dal grafico la funzione logaritmica present un bell'asisntoto verticale in corrispondenza dello 0, non ammette massimi nè minimi, non ha flessi.

    Edited by W32.Melo.p - 18/9/2005, 17:06
     
    .
  2. pic44
     
    .

    User deleted


    CITAZIONE (W32.Melo.p @ 18/9/2005, 17:04)

    • L'argomento di un logaritmo è necessariamente positivo; non dimentichiamo che esso è il risultato di una elevazione a potenza!

    Questo se supponi positiva la base... o no? huh.gif La base dev'essere per forza positiva o posso scrivere, p.es. log-28=3 ?
     
    .
  3. W32.Melo.p
     
    .

    User deleted


    In effetti mi ero chiesto quando qualcuno mi avrebbe detto questo! Si può dire che l'abbia messo apposta! Cmq è log in base -2 di -8=3!
     
    .
  4. W32.Melo.p
     
    .

    User deleted


    è solo una convenzione che base ed argomento sano positivi, per dare continuità alla funzione! per esempio y=(-2)^x per x=0,5 non esiste (o meglio è immaginaria, i radice di 2)! Ciò non vuol dire però che -2^3=/-8!
     
    .
  5. pic44
     
    .

    User deleted


    CITAZIONE (W32.Melo.p @ 19/9/2005, 15:11)
    In effetti mi ero chiesto quando qualcuno mi avrebbe detto questo! Si può dire che l'abbia messo apposta! Cmq è log in base -2 di -8=3!

    ovviamente! sbagliato a battere rolleyes.gif
     
    .
  6. black Lillo
     
    .

    User deleted


    http://j-horror.forumcommunity.net/

    Ti piacciono i film horror made in japan? adori la cultura giapponese?
    Visitaci in questo forum! J-Horror Mania non parla solo di horror giapponese, ma anche di cinema Coreano, Thailandese, Cinese e Asiatico in generale!

    Ti aspettiamo! :lol: :lol: :lol:
     
    .
  7. Dark Mind
     
    .

    User deleted


    questo è spam...non è nobile pubblicizzare il proprio forum(fosse questo granchè ma si parla di film horror e pure giapponesi) su un forum morente di un grado di informazione molto superiore al tuo..vedrò di segnalarti...per colpa di questo simpaticone rimetto il link:
    http://lascienza.forumcommunity.net/

    questo forum è molto più organizzato e anche se più sotto in classifica ha già molte discussioni più di questo che aspettano nuovi appassionati.
     
    .
  8. arteamore
     
    .

    User deleted


    Grazie! :B):
     
    .
7 replies since 18/9/2005, 16:04   3476 views
  Share  
.